Dr. M. Mächler  Statistische Methoden  WS 96/97

Serie 10

1. Herzinfarkt und Verhütungsmittel (Agresti, 1990, 2.1.3): 58 verheiratete Patientinnen unter 45 Jahren, die wegen Herzinfarkt (‘myocardial ..’) im Spital waren und dreimal mehr “ähnliche” Patientinnen, wurden befragt, ob sie Verhütungsmittel (‘Contraceptives’) verwendet hätten. Die Antworten

sind Herzinfarkt (Y) ja  nein Verhütungs- ja  23  34 mittel (X)  nein  35  132 Sie können diese Aufgabe gut von Hand (mit Taschen- rechner) oder auch mit S-plus (Datensatz myocard.dat) lösen.

a) Berechnen Sie die prozentualen Anteile. Benutzen Sie die Ihnen am sinnvollsten erscheinende Möglichkeit.

b) Berechnen Sie die gemeinsamen (π_{ij}) und bedingten (π_{j|i} := P [Y = j|X = i], und π_{i|j}) Verteilungen sowie die Randverteilungen (π_{i.}, π.j). (Maximum Likelihood Schätzungen, d.h. relative Häufigkeiten!).

c) Berechnen Sie relative Risikos, P [Y = j|X = 1] / P [Y = j|X = 0], das Assoziationsmass (odds ratio), (π_{j|i}/π_{j′|i})/(π_{j|i′}/π_{j′|i′}) =^{!} π_{11}π_{22}/π_{12}π_{21}, und auch dessen Logarithmus. Dabei sind j und j′ die beiden möglichen Werte von Y (analog für i, i′ und X). — Interpretation ?

d) Welches sind die Wahrscheinlichkeitswerte unter der Unabhängigkeitshypothese in jeder Zelle? Berechnen Sie die Deviance– und Pearson χ^{2}–Statistik sowie deren P –Werte.

Deviance D(θ_{0}) := 2 (log L(θ̂_{ML}) − log L(θ_{0})), wobei L(θ) die Likelihood als Funktion aller Parameter θ bezeichnet. Für die Multinomialverteilung, log L(θ) = const. + ∑_{k} n_{k} log π_{k} (und ∑_{k} π_{k} ≡ 1).

χ^{2}-Statistik X^{2} := ∑_{k}(beob_{k}−erw_{k})^{2}/erw_{k}, wobei beob_{k} die beobachtete und erw_{k} die erwartete Anzahl für die k-te Gruppe bezeichnen. Für die Multinomialverteilung, X^{2} = ∑_{k} \frac{(n_{k}−n_{·}π_{k})^{2}}{n_{·}π_{k}}.

2. Wir wollen nun die ‘myocardial infarction’ Daten (Datensatz myocard.dat) als log-lineares Modell analysieren mit S-plus und glm(..) (s. Anleitung letztes Mal). Das Modell lautet hier

log E⟨n_{ij}⟩ = μ + α_{i} + β_{j} + γ_{i,j},

wobei unter der Unabhängigkeitannahme γ_{i,j} ≡ 0 ist und z.B. α_{i} log π_{i·} entspricht. und ist.

a) Erstellen sie zuerst die Modell-Variabeln aus der Kontingenztafel, z.B. mit den S-plus-Befehlen

  d.myoc _read.table(".....datasets/myocard.dat", header=T)
  Myo _rep(c("Y","no"), 2);       Myo _C(as.factor(Myo), treatment)
  Con _rep(c("Y","no"), c(2,2));  Con _C(as.factor(Con), treatment)
  d.myoc2 _data.frame(Myo, Con, freq= unname(unlist(d.myoc)))

# Schauen Sie Myo und Con an! Die Zusätze mit C(..) definieren sogenannte ”Kontraste“, d.h., wir legen hier fest, dass im Modell die Nebenbedingungen α_{1} = β_{1} = γ_{1,j} = γ_{i,1} = 0 genommen werden. Sonst lauteten die Bedingungen ∑_{i} α_{i} = ∑_{j} β_{j} = … = 0.

b) Verwenden Sie nun glm(.., family = poisson) für die Überprüfung der Unabhängikeit von Krankheit und der Empfängnisverhütung. Die Abhängige Variable ist also freq. Berechnen Sie beide Modelle (mit und ohne Interaktions–Term).

*c) Leiten Sie die Formeln für die (oben von S-plus verwendeten) Schätzungen (für α_{2}, β_{2} und γ_{2,2}) im ”saturierten Modell“,

log n_{ij} = μ + α_{i} + β_{j} + γ_{i,j}, mit α_{1} = β_{1} = γ_{1,j} = γ_{i,1} = 0

her, und zeigen Sie, dass gerade \underline{γ̂_{22} = log odds ratio} gilt. Hinweis: Schreiben Sie die vier Gleichungen des Modells für i und j = 1, 2 auf!

Abgabe: Mo, 27. Jan. 97. Präsenz, Hilfe: Im SOL F5 (Sonneggstr.33), gemäss Vereinbarung: Tel. (63) 2-3408 oder

         via e-mail  To: maechler@stat.math.ethz.ch.
Übung via www in ftp://ftp.stat.math.ethz.ch/Teaching/maechler/Stat-Meth/96-10.ps