Dr. M. Mächler  Statistische Methoden  WS 96/97

Serie 4

1. Betrachte die vier Punkte aus Serie 3, Aufgabe 1a). Wir wollen hier einmal die üblichen t-Tests und Vertrauensintervalle von Hand berechnen. Verwenden Sie die Resultate aus der Vorlesung, die Resultate der Vor-Aufgabe (α̂,β̂,…) und einige der folgenden Quantile (“kritische Werte”) der t-Verteilung (z.B. q_{.99}^{(t_{4})} = 3.75):

Freiheitsgrade 95% 97.5% 99% 99.5%
1  6.31 12.71 31.82 63.66
2  2.92 4.30 6.96 9.93
3  2.35 3.18 4.54 5.84
4  2.13 2.78 3.75 4.60

a) Teste die Hypothese α = 0 auf dem 5%-Niveau und auf dem 1%-Niveau mit dem zweiseitigen t-Test.

b) Teste die Hypothese β = 0 zweiseitig auf dem 1%-Niveau; teste dieselbe Hypothese einseitig gegen die Alternative β > 0 auf dem 1%-Niveau und gib das zugehörige Vertrauensintervall an.

c) Berechne die (separaten) zweiseitigen 95%-Vertrauensintervalle für α̂, β̂ und ȳ.

2. Auf /home/sfsadm/ueb.datasets/bremsweg.dat (Einlesen: d.brems <- read.table(...,

header=T), siehe letzte Serie) befinden sich Messungen des Bremswegs (W, in Fuss) bei bestimmten Anfangsgeschwindigkeiten (V, in Meilen pro Stunde). Zeichne ein Diagramm von W gegen V. Das Modell Y_{i} = β_{1}x_{i} + β_{2}x_{i}^{2} + E_{i}, die “quadratische Regression durch den Nullpunkt”, ist hier ein (auch physikalisch) sinnvolles Modell. Welche Werte liefern die Kleinste-Quadrate Schätzungen für β_{1}, β_{2} und σ^{2}, wie gross ist R^{2}? Welche Voraussetzung für die Durchführung der Kleinste-Quadrate-Methode ist nicht erfüllt? Betrachten Sie Residuen, auch Residuen gegen V!

S-plus-Anleitung: Die quadratische Regression durch den Nullpunkt erhält man mittels lm ( W ∼ V + V^2 - 1) (“-1” = kein Achsenabschnitt).

Abgabe: Mo, 2. Dez. 96. Präsenz, Hilfe: Im SOL F5 (Sonneggstr.33), gemäss Vereinbarung: Tel. (63) 2-3408 oder

             via e-mail  To: maechler@stat.math.ethz.ch.