Dr. M. Mächler  Statistische Methoden  WS 96/97

Serie 6

1. In Serie 4, Aufgabe 2,wurde festgestellt, dass die Streuung der Residuen und damit ungefähr auch der zufällige Fehler E im Modell W = αv + βv^{2} + E von v abhängig ist. In erster Näherung gilt Var(E_{i}) = c · v_{i}^{2}.

a) Der obige Mangel (Streuung proportional zu v) lässt sich durch gewichtete Regression beheben. Wie lautet das Modell (unter Var(E_{i}) = c · v_{i}^{2}), wenn wir Z_{i} := W_{i}/v_{i} setzen? Bem: Die allgemeine Situation sei Cov(E) = σ^{2} / Σ (mit bekannter Matrix / Σ, hier / Σ =

diag(v_{1}^{2}, …, v_{n}^{2})), und das transformierte (gewichtete) Modell gilt für Z := / Σ^{− \frac{1}{2}} W. Führe die Rechnung für dieses lineare Modell für Z mit S-plus durch. Vergleiche β̂ und die Schätzung für σ(β̂) mit denen, die man durch eine ungewichtete Regression für das Modell W = αv + βv^{2} + E erhält.

b) Rechne zum Vergleich eine Regression mit Gewichten \frac{1}{v^{2}} .

S-plus-Anleitung: Benütze die Option weights = \frac{1}{v^{2}} im Befehl lm.

c) Rechne auch eine Regression mit den Gewichten \frac{1}{v}.

Vergleiche α̂, β̂ und die Schätzungen für σ(α̂), σ(β̂) mit den in b) erhaltenen.

2. Eine Asphalt produzierende Firma möchte den Abnützungsgrad von Asphaltbelägen studieren. Die erhobenen Daten sind in der Reihenfolge x1, x2, x3, x4, x5, x6, y als Dataframe d.asphalt gegeben. Dabei ist y, die abhängige Variable, eine “mittlere Spurrinne” (in ‘Zoll pro Million Raddurchg_{}änge’). Die Variablen x1 und y sollen logarithmiert werden. Die Variable x4 ist eine sogenannte “Dummy”-Variable zur Unterscheidung von zwei verschiedenen Versuchsreihen.

a) Was fällt Dir bei diesen Daten auf, und was sollte besonders nachgeprüft werden bei der Auswertung? S^{+}-Anleitung: Funktion pairs(..) verwenden.

b) Vergleiche die zwei Versuchsreihen (x4 = 0 und x4 = 1), indem Du die Steigungen auf Gleichheit testest. Interpretation? S^{+}-Anleitung: Die Funktion summary.aov(Modell) angewandt auf die Modelle

   lm(log(y) ∼ log(x1) + x2 + x3 + x4 + x5 + x6)
   lm(log(y) ∼ log(x1) + x2 + x3 + x5 + x6, subset= x4==0)
   lm(log(y) ∼ log(x1) + x2 + x3 + x5 + x6, subset= x4==1)

liefert die Grössen, aus denen man die Teststatistik berechnen kann.

c) Verwende zur Variablen-Auswahl einen C(p)-Search. Untersuche den C(p)-Plot und gib die besten Regressionsgleichungen zusammen mit R^{2} an. Kommentar? S^{+}-Anleitung: Erstelle zuerst die transformierten Variablen:

   cx <- cbind(log(x1),x2,x3,x4,x5,x6); cy <- log(y)
   dimnames(cx) <- list(NULL,paste(1:6)).
   Benütze die Funktion leaps: allRg <- leaps(cx,cy,method='Cp'). Dann:
   n.plot(allRg$size, allRg$Cp, nam=allRg$label, ylim=c(0,25));  abline(0,1).

Abgabe: Mo, 16. Dez. 96. Präsenz, Hilfe: Im SOL F5 (Sonneggstr.33), gemäss Vereinbarung: Tel. (63) 2-3408 oder

         via e-mail  To: maechler@stat.math.ethz.ch.

Neu: Übungsblatt via www in ftp://ftp.stat.math.ethz.ch/Teaching/maechler/Stat-Meth/.

96-6.ps ist Serie 6 (WS 96/97) als “PostScript” Datei. Im “Dateimanager” öffnen, oder zum Drucker schicken!